也许现代物理学最基本的思想就是作用原理物理学的任何领域都受这条规则的支配我们将开始一段旅程，从光穿过水的场景开始，以量子力学的讨论结束
还有费马的光的原理。
考虑一束光从A点出发，穿过水面到达b点，这束光的路径是什么我们可以假设它沿直线运动，以使距离最小化可是，在现实中，光并不是这样传播的相反，它在空气和水的边界发生折射
但是为什么呢1662年，皮耶·德·费玛找到了答案他解释说，光从一点到另一点的路径使其传播时间最小化
费马原理表明，光在两点之间的路径总是最小化其传播时间。
根据这个原理，以及光在不同介质中的不同速度，我们可以从数学上推导出斯涅尔折射定律:
斯涅尔折射定律原理
我们以前看到过，光总是沿着最短的路径移动1788年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日扩展了这个想法他提出任何在空间运动的粒子都会使其影响最小化
作用原理指出，运动的质点总是沿着使其作用幅度最小的空间路径运动。
但它的功能是什么在物理学中，函数是描述物理系统随时间变化的标量作用很重要，因为系统的运动方程可以从静态作用原理推导出来更正式的说法是，动作是一个数学泛函，以系统的轨迹为参数，以实数为结果通常，不同的路径会产生不同的效果
首先，L称为系统的拉格朗日量，是系统的动能T和势能V之差。
拉格朗日量是系统的动能和势能之差。
我们把它写成L来表示它是时间的函数换句话说，当一个物体在空间运动时，它总是伴随着时间而变化由于作用是对时间的积分，所以它是时间t = t1和t = T2之间由曲线L包围的面积
拉格朗日量在现实中没有物理意义只在数学上有用
我们如何找到空间中s最小的路径。结果表明产生最小影响的路径也满足称为欧拉—拉格朗日方程的方程，
欧拉—拉格朗日方程
不用太担心数学上的细节我们只需要记住把系统的拉格朗日量代入欧拉—拉格朗日方程，就可以得到它的运动方程这些运动方程定义了最小化动作的路径
回到扔球的例子，把它的拉格朗日量代入欧拉—拉格朗日方程，得到它的运动方程假设没有空气阻力，这些运动方程描述了抛物线轨迹
轨迹无限量子路径发射在球的初始角θ
但是当这些物体很小时会发生什么呢例如，单个电子在这些情况下，我们不得不求助于量子力学1948年，理查德·费曼利用作用原理将量子力学定义为路径积分
量子力学的费曼路径积分公式
我们已经知道，一个运动的粒子有一个独特的路径，从空间的一点到另一点，它的作用量最小此外，这意味着我们知道粒子在任何给定时间在空间中的确切位置可是，这在量子力学中是不可能的
一个粒子从A到B的概率是多少。
这个问题的答案是通过计算量子系统的路径积分得到的。在这个过程中，我们需要考虑从A到B的无限可能的路径，
量子粒子从A点到b点的无限可能路径的一小部分。
每条路径被分配一个概率幅度一个粒子从A到B的最终概率是把每条路径的概率幅度相加得到的，不管这条路径有多荒谬
当我们认识到更合理的路径具有更小的作用s和更大的概率振幅时，作用原理就发挥作用了反之，不合理路径影响更大，幅度更小因为大多数可能的路径是不合理的，所以它们对总概率的贡献很小
S作用最小的最合理路径对粒子从A到b的概率贡献最大。
这是费曼路径积分的基本思想。
作用原理可以用来推导牛顿，拉格朗日，哈密顿的运动方程，甚至广义相对论这一原理至今仍处于现代物理学和数学的中心，并被应用于热力学，流体力学，相对论，量子力学，粒子物理和弦理论
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